Control Variateに関するメモ

July 2008

June August

19th Sat

Control Variateはモンテカルロ求積法などでVariance reduction の為に利用されるテクニックです。

統計量 ${}_{m}$ が与えられた時、期待値は以下のように表します。

この時、期待値が ${}_{E[t]=\tau}$ であり、相関係数(correlation coefficient)が ${}_{\rho_{mt}=Corr[m,t]}$ であるような統計量 ${}_{t}$ があるとすると、以下の式で表される

は、 ${}_{\mu}$ に対して不偏(unbiased)です。Cは任意の定数です。

ここで、 ${}_{\sigma_m}$ , ${}_{\sigma_t}$ をそれぞれ、 ${}_{m}$ , ${}_{t}$ の標準偏差(standard deviation) とした時、定数Cを以下

のように選ぶと、 ${}_{m^\star}$ の分散は最小化され、以下のようになります。

元の統計量 ${}_{m}$ の分散に対して、 ${}_{\rho_{mt}^2}$ の分だけ相対的に小さくなります。

すなわち、 ${}_{m}$ と高い相関関係（正の相関でも負の相関でも良い）にある ${}_{t}$ が既知であるときに、 ${}_{t}$ を使って ${}_{m^\star}$ の期待値の推定量を求めることで、 ${}_{m}$ の期待値の推定量を効率よく推定することができます。

See Also

posted by

genki on Sat 19 Jul 2008 at 02:08