Control Variateは モンテカルロ求積法などでVariance reduction の為に利用されるテクニックです。

統計量{}_{m}が与えられた時、期待値は以下のように表します。


\mu=E[m]

この時、期待値が{}_{E[t]=\tau}であり、 相関係数(correlation coefficient)が {}_{\rho_{mt}=Corr[m,t]}であるような統計量 {}_{t}があるとすると、以下の式で表される


m^\star=m-C(t-\tau)

は、{}_{\mu}に対して不偏(unbiased)です。Cは任意の定数です。

ここで、 {}_{\sigma_m}, {}_{\sigma_t}をそれぞれ、 {}_{m}, {}_{t}の標準偏差(standard deviation) とした時、定数Cを以下


C = \frac{\sigma_m}{\sigma_t}\rho_{mt}

のように選ぶと、 {}_{m^\star}の分散は最小化され、以下のようになります。


V[m^\star]=(1-\rho_{mt}^2)V[m]

元の統計量{}_{m}の分散に対して、 {}_{\rho_{mt}^2}の分だけ相対的に小さくなります。

すなわち、{}_{m}と高い相関関係 (正の相関でも負の相関でも良い)にある {}_{t}が既知であるときに、{}_{t}を使って {}_{m^\star}の期待値の推定量を求めることで、 {}_{m}の期待値の推定量を効率よく推定することができます。

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posted by Png genki on Sat 19 Jul 2008 at 02:08

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