Control Variateに関するメモ
Control Variateは
モンテカルロ求積法などでVariance reduction
の為に利用されるテクニックです。
統計量[math]m[/math]が与えられた時、期待値は以下のように表します。
[math]
\mu=E[m]
[/math]
この時、期待値が[math]E[t]=\tau[/math]であり、
相関係数(correlation coefficient)が
[math]\rho_{mt}=Corr[m,t][/math]であるような統計量
[math]t[/math]があるとすると、以下の式で表される
[math]
m^\star=m-C(t-\tau)
[/math]
は、[math]\mu[/math]に対して不偏(unbiased)です。Cは任意の定数です。
ここで、
[math]\sigma_m[/math], [math]\sigma_t[/math]をそれぞれ、
[math]m[/math], [math]t[/math]の標準偏差(standard deviation)
とした時、定数Cを以下
[math]
C = \frac{\sigma_m}{\sigma_t}\rho_{mt}
[/math]
のように選ぶと、
[math]m^\star[/math]の分散は最小化され、以下のようになります。
[math]
V[m^\star]=(1-\rho_{mt}^2)V[m]
[/math]
元の統計量[math]m[/math]の分散に対して、
[math]\rho_{mt}^2[/math]の分だけ相対的に小さくなります。
すなわち、[math]m[/math]と高い相関関係
（正の相関でも負の相関でも良い）にある
[math]t[/math]が既知であるときに、[math]t[/math]を使って
[math]m^\star[/math]の期待値の推定量を求めることで、
[math]m[/math]の期待値の推定量を効率よく推定することができます。
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