正方行列 が冪零であるとは、ある整数 に対して （零行列）が成り立つことをいう。 が同じ型の冪零行列で を満たすとき、次を示せ。

(1)　 は冪零

(2)　 は冪零

正整数 と1でない複素数 に対して、次の和 を求めよ。

3辺の長さが実数 により と表される三角形は、 の内角をもつ。これを示せ。

の内部に点 を取るとき、次式が成り立つことを示せ。ただし(2)では は の二等分線上の点で、かつ とする。

(1)　

(2)　

確率変数 がともに期待値0と分散1をもつとき、確率変数 の分散を最小にする実数 は で与えられることを示せ。

正整数 に対して、 は常に で割り切れることを示せ。

正整数 に対して、次の等式を示せ。

正整数 をいくつかの正整数の和として表したものを、 の分割という。例えば

だから、4の分割は5通りある。正整数 について次を示せ。

(1)　 「奇数のみを用いたの分割の総数」と「異なる数のみを用いたの分割の総数」は等しい。

(2)　 を2以上の整数とすると「 の倍数でない数のみを用いたの分割の総数」と「同じ数を高々 個までしか用いないの分割の総数」は等しい。

係数の2次方程式 は複素数解 を持つ。これを示せ。

複素数 の関数

を考える。

と表示するとき、2つの2変数関数 を求めよ。

また、この複素関数が解析的であるかどうか調べよ。